Danke erstmal für eure zahlreichen Tipps! Da es jetzt doch einige Antworten und Fragen geworden sind, antworte ich im Allgemeinen.
Das die Hündin merken sollte, dass ich es "gut" mit ihr meine, war vielleicht etwas salopp gesagt. Mir ist klar, dass ich von einem Tier mit entsprechender Vorgeschichte nicht erwarten kann, dass es sofort freudig auf mich zugeht und mich als sein Frauchen anerkennt. Ich weiß nur zu gut, dass das charakterabhängig ist, denn meine Eltern und ich haben in den vergangenen Jahren bereits Tierheimkatzen ein zu Hause gegeben und zwei davon waren am Anfang auch total verängstigt. Natürlich braucht eine Mensch-Tier-Bindung immer Zeit, aber die werde ich ihr auch geben und eben alles mögliche versuchen, ihr es einfacher zu machen. 
Ich bin leider auf den Zug angewiesen, da unter der Woche niemand von meinen Freunden für einen Tag nach Wien fahren kann. Am Wochenende wäre das kein Problem, aber laut Tierschutzorg. kann der Pater, der die Hündin mitbringt nur unter der Woche. Natürlich wäre mir Wochenende sonst lieber, da die Möglichkeit mit dem Auto zu fahren, eben vorhanden wäre. Da der Pater auch erst um 18.30 Uhr ankommt, bleibt mir leider auch nichts anderes übrig, als den Zug um 22.30 Uhr zu nehmen. Glaubt mir, ich würde mich auch wohler fühlen, wenn ich mit der Kleinen am frühen Abend bereits zu Hause wäre, aber das liegt leider nicht in meiner Macht.
Was die Mitfahrgelegenheit betrifft....auch danach habe ich mich schon umgeschaut, aber es findet sich leider niemand der zu dieser späten Uhrzeit unter der Woche von Wien nach Innsbruck fährt. Meiner Erfahrung nach wird diese Route sowieso wenig gefahren. Würde ich in Salzburg wohnen, wäre es definitiv einfacher.
Ein Geschirr + Leine bringe ich selbstverständlich mit. Ich bin mir auch bewusst, dass ich gut darauf aufpassen muss, dass sie mir nicht entwischt und werde sie, auch wenn sie auf meinem Schoß liegen sollte, immer angeleint lassen.
Das Umleinen geschieht auch nicht am Bahnhof, sondern zu Hause bei der Leiterin der Tierschutzorg. Das richtige Festmachen wird sie übernehmen bzw. mir zeigen und dann geht es erst zum Bahnhof zurück.
Was ich mir jedoch überlegt habe, ist noch einmal nachzufragen, ob ich sie nicht erst am Donnerstag Mittag abholen könnte. Dann kann die Hündin mit ihrer jetzigen Bezugsperson noch eine Nacht bleiben und muss nicht an einem Tag über 12h Auto/Zugfahren. Habe das zwar vor zwei Wochen schon angesprochen, da hieß es aber, dass es nicht geht und ich sie am Mittwoch noch mitnehmen solle. Aber ich frag da einfach nochmal nach.
Ich hoffe, dass ich alles beantwortet und nichts vergessen habe. Ansonsten bitte nochmal nachfragen. 
Glg,
Niké