Unter Begleithunden verstehe ich eher sowas wie Behindertenhunde; also Hunde, die für spezielle Anforderungen für einen neuen Besitzer trainiert werden. Vielleicht auch sowas wie Suchhunde? Therapiehund ist, wie oben schon richtig gesagt, ein Hund, der vor allem im klinischen Bereich eingesetzt wird (aber auch in Schulen, Altenheimen usw.).
Besuchshunde haben meist auch eine Therapiehundeausbildung. Es geht insbesondere darum, dass der Hund eine enge, vertrauensvolle Beziehung zu dir hat und in der Ausbildung lernt, sich von anderen Menschen anfassen zu lassen (auch mal grober), mit unbekannten/ungewöhnlichen Situationen umgehen zu können usw. Er sollte dabei keine Aggressionen oder übermäßigen Stress zeigen.
Prinzipiell ist meines Wissens auch jede Hunderasse dazu geeignet. Es kommt auf den individuellen Hund an. Am besten hat er schon eine vertrauensvolle Beziehung zum Hundehalter aufgebaut und ist ca. 3 Jahre alt, ruhig, kontaktfreudig (sowohl zu anderen Tieren als auch gegenüber Menschen) und insgesamt gut sozialisiert mit gutem Grundgehorsam.