Ja, schwierige Sache. Das kenne ich aus eigener Erfahrung.
Hast Du schon mal versucht explizit nach Wohnungen und Häusern zu suchen, bei denen ein Hund ausdrücklich erlaubt ist. Wenn ich bei http://www.immonet.de/ nach Häusern in Emsdetten suche, dann finde ich zwar nur 7 Ergebnisse, aber bei dreien ist ein Hund ausdrücklich erlaubt.
Außerdem kannst Du Dir viel Sucherei ersparen, wenn Du mal die Makler in der Nähe von Emsdetten abtelefonierst, anmailst oder vielleicht sogar mit einer Kurzbewerbung Post anschreibst. Darin stellst Du Dich vor (mit Foto auf dem Dein Hund zu sehen ist).
Ich habe auf diesem Weg einige Angebote gefunden und konnte mir dann eine gute Wohnung aussuchen.
Vielleicht hilft Dir das ja. Denn in den gängigen Portalen Suchen viele. Aber kurze Bewerbungen verschicken kaum Leute, daher ist das dann ein echter Vorteil.
Viel Glück.