Es könnte sein, dass der Hund aus seinen vorherigen Lebensumständen schlecht ernährt worden ist und ihm Mineralstoffe fehlen.
Schon Salzmangel kann dieses Lecken verursachen und das Untergewicht kann mit Proteinmangel zu tun haben. So wie du das geschildert hast, kann der Thunfisch den Salzhaushalt schon ausgeglichen haben.
Haarausfall kann mit Kupfermangel zu tun haben, dagegen hilft Fisch, Leber oder Käse......also es kann einfach nur ein Mangel vorliegen, der mit einer vorrübergehend täglichen Gabe eines Mineralstoffpräperats behoben werden kann.
Ansonsten würde ich aber auch mal eine Kotuntersuchung machen lassen, um zu schauen, ob da noch Handlungsbedarf besteht!
Alles Gute für den Hund!
Lb Grüße