Grundsätzlich ist in diesem Fall zunächst mal ein mündlicher 'Vertrag" genauso rechtsgültig wie ein schriftlicher (433 BGB ff). Sollte die Vorbesitzerin jedoch einen gültigen Kaufvertrag über den Erwerb des Welpen haben, brauchst du einen Zeugen, der den mündlichen Vertrag im Falle eines Rechtsstreits bezeugen kann, sonst hast du leider schlechte Karten, wenn sie den Hund wirklich zurückfordern sollte.
Allerdings kannst du tatsächlich die angefallenen Kosten für Futter, Tierarzt, Betreuung etc von der anderen Seite einfordern.
Du kannst im Internet Formulare für Kaufverträge runterladen (oder es auch ganz einfach selbst formuöieren) und, sollte die Vorbesitzerin nun doch wegen der Kosten den Hund nicht mehr wollen, dann lass sie auf jeden Fall unterschreiben, dass sie den Hund an dich abgibt.
Ich hoffe sehr, dass der Kleine bei euch bleiben kann 