Hallo Diana M.
Eine Bekannte hat ein Pferd und uns diesbezüglich gestern dargestellt, dass das bezahlte Hundesitting in der Form nahezu gar nicht bei Pferden vorkommt, da meistens die "hütenden Reiter" sogar dafür bezahlen, dass sie das Pferd reiten dürfen.
Vielleicht sollten wir das beim Hundesitting auch so einführen. Der Hundesitter muss demnächst dafür zahlen, dass er mit den Lieben gehen darf (is nich so ernst gemeint!) Mal sehen, welche versicherungsrechtlichen Fragen dabei auftreten 
Aber nun zu deiner Frage/Hinweis:
1.
Richtig! Der Halter/Eigentümer ist immer verantwortlich und haftbar (siehe Gefährungshaftung, § 833 BGB).
Das ist aus meheren Gründen sicherlich auch gut so und dafür gibt es ja auch die entsprechenden Versicherungen.
2.
Pferdehalterhaftpflicht (PHV). Habe ich mir nicht so genau angeschaut. Ich glaube aber, es gibt sogar einige positive Unterschiede zur Hundehalterhaftpflicht (HHV).
3.
greift die Tierhalterhaftpflicht ???
Besser vielleicht Pferdehalterhaftpflicht (PHV) und Hundehalterhaftpflicht (HHV).
Andere Tiere (auch gewerblich genutzte werden soagr speziell betrachtet) sind meist unkritisch.
Bei der HHH haftet/greift die Versicherung nur, wenn das Hundesitting nur "gelegentlich" und auf Gefälligkeit/Nachbarschaftshilfe (also ohne Entgelt) erfolgt.
Der Passus in den Versicherungsbedingungen dazu lautet bezüglich der versicherten Personen/Tätigkeiten: "Hüten durch dritte Personen (nicht gewerbsmäßig)".
Sollte ein solcher Passus auch bei den PHV auftreten, dann wäre ich mittlerweile eher skeptisch über den Versicherungsschutz beim bezahlten Pferdehüter (wenn es den denn dann überhaupt gibt. siehe Eingangserklärung der Bekannten).
D.H.
Sollte ein Hund sich (ohne Verschulden § 834 BGB) des bezahlten Hundesitters während des Sittings losreißen und einen Unfall verursachen, so kann der Tiersitter regelmäßig mit keiner seiner Versicherungen haftbar gemacht werden, sofern er die "normale" Sorgfaltspflicht gewahrt hat (und davon gehen wir nun mal aus).
Die Haftung geht damit auf den Halter über. Aber wegen des Ausschluss durch den Passus kann sich in diesem Fall m.E. kein Halter auf die Haftung durch die HHV verlassen.
Bei bisher allen Versicherungen=Risikoträger (nicht die Vermittler), die ich konkret dazu befragt habe, wurde mir mitgeteilt, dass diese bei bezahltem Hüten/Sitting wegen dieses Passus nicht haften.