Ich würde Urlaub nehmen oder Überstunden abbauen (oder Minusstunden aufbauen), wenn ich wegen einem Notfall mit einem Tier zum Arzt muss. Das auf den Arbeitgeber abzuwälzen mit bezahltem Sonderurlaub find ich schon strange. Klar wenn der Arbeitgeber es von sich aus anbieten würde, würde ich es natürlich machen, aber verlangen vom Arbeitgeber niemals. Wenn das Kind krank ist, bekommt mann das Geld ja auch in der Regel nicht vom Arbeitgeber gezahlt, sondern man gekommt sofort Kinderkrankengeld von der Krankenkasse.
In der Ausnahmesituation wenn kein Urlaub mehr vorhanden ist oder kein Stundennehmen möglich ist (z.B. feste Arbeitszeiten ohne die Möglichkeit des nacharbeitens), würde ich vorher mit dem Arbeitgeber reden, ob man unbezahlten Urlaub bekommt im Notfall. Wenn der Arbeitgeber so etwas aber ablehnt und wirklich kein Urlaub vorhanden ist und kein Stundennehmen möglich ist, würde ich wohl im akuten Notfall krank machen (wenn kein anderer z.B. mein Partner den Hund in die Klinik bringen kann). In so eine Situation kann ich allerdings nicht kommen, da wir flexible Arbeitszeiten haben.